Robert Stalnaker, Merely Possible Propositions

Stalnaker 在本文中主張，有些命題是偶然存在的，並且可能存在現實上不存在的命題。

因此若假設可能世界即是最大一致命題，可能有這個問題：

假設有個命題 $x$ ，若某最大命題 $w$ 為真，則命題 $x$ 不會存在， $x$ 的矛盾命題也不會存在。
但 $w$ 是最大的，意思是，對於每個命題 $y$ ，要嘛 $w$ 蘊含 $y$ ，要嘛蘊含 $y$ 的矛盾命題。那麼， $w$ 將蘊含 $x$ 或其矛盾命題，即使 $x$ 或其矛盾命題在 $w$ 為真時不會存在。這表示，命題 $x$ 或其矛盾命題在可能世界 $w$ 為真，即便它們在 $w$ 為真時不存在。

存在偶然命題的想法由兩個直覺所支持：

Alvin Plantinga 的存在論（existentialism）表明：單稱命題本體論上依賴它直接關涉的個體（a singular proposition is ontologically dependent on the individuals it is directly about）。即便可能有其他形式的命題偶然性的來源，譬如涉及純粹性質的普遍與存在概括的命題，但涉及個體偶然存在的命題是最清楚的例子。
「人和普通物理對象是可能不存在的事物」的摩爾事實（Moorean fact）成立。

假設有個有名字、述詞和量詞的一階模態語言。正統（orthodox）模型為結構 $\langle W, @, \{ D_w: w \in W \} \rangle$ 。

根據標準模型，對於每個世界點，在點上定義一個等價關係：

對於所有 $x, y, z \in W$ ， $y \approx_x z$ ，若且唯若，每個完全關於 $x$ 域成員的命題對於 $y$ 中的真值與對於 $z$ 中的真值相同。完全關於 $x$ 域成員的命題是那些可以用僅指向 $x$ 域成員的嚴格名稱來表達的命題。

對於每個 $W$ 的成員，其等價關係能確定一組等價類，該等價類能作為若該點被實現便會存在的最大命題的模型。相對於現實世界等價的點的差異沒有表徵意義。保留同一性和差異的「可能個體」、該個體的量化特徵、以及所有的現實個體的自身映射，它們的任何排列都是等價表徵。

Kit Fine 區分了內在真理與外在真理：

外在真理：命題對於（with respect to or of）一個可能世界為真，
內在真理：命題在（in）一個可能世界為真。

一個命題在一個可能世界中為真，是指它在那個世界中具有真的性質。而一個命題對於一個可能世界為真，是指它（在現實世界中）與該可能世界處於某個關係。

若可能世界狀態是最大命題，那一個命題 $x$ 對可能世界狀態 $w$ 為真，若且唯若 $w$ 涵蓋（entail） $x$ 。

這兩概念會分開，來自以下假設：

有些命題僅偶然存在。
每個命題都有其矛盾命題——此命題必然為真，若且唯若給定命題為假。
必然地，只有存在的事物才有性質，只有存在的命題才有真性質。

論證如下：

根據假設 (1)，有某個命題 $x$ 偶然存在，意味著有個可能世界狀態 $w$ ，其域不包含 $x$ 。
根據假設 (2)， $x$ 的矛盾命題也不在 $w$ 的域中。
根據假設 (3)， $x$ 和其矛盾命題在 $w$ 中都不具有真性質。
但世界狀態是最大命題，對於任何命題， $w$ 都會包含該命題或其矛盾命題。
由於 $w$ 涵蓋 $x$ 或其矛盾命題，因此會有命題對於該世界狀態為真，但在該世界狀態中不為真。

他認為 Plantinga 和 Williamson 提出的論證，都忽略或拒絕了這個區別。

Plantinga 的論證如下：

P1. 可能地，蘇格拉底不存在。
P2. 如果 P1，那麼命題「蘇格拉底不存在」是可能的。
P3. 如果命題「蘇格拉底不存在」是可能的，那麼命題「蘇格拉底不存在」可能為真。
P4. 必然地，如果「蘇格拉底不存在」為真，那麼「蘇格拉底不存在」會存在。
P5. 必然地，如果「蘇格拉底不存在」為真，那麼蘇格拉底就不會存在。
C. 可能地，蘇格拉底不存在，但命題「蘇格拉底不存在」存在。

P4 P5 蘊含 C，因為這在所有標準模態邏輯都成立：

若 $\Diamond P, \square(P \rightarrow Q), \square(P \rightarrow R)$ ，則 $\Diamond (Q \land R)$ 。

Plantinga 指出，

有三種理論分別反對了 P2，P3，P4，他分別以反對者的名字稱之為：

P2. Prior 式存在論
P3. Powers 式存在論
P4. Pollock 式存在論

Stalnaker 認為，圍繞在 P2 和 P3 上的爭論，主要是對「命題『蘇格拉底不存在』是可能的」這個子句存在不同的解釋（而他認為 P4 對於駁倒這悖論並不重要）。

為了說明這問題，Stalnaker 引入了幾個符號：

$\pi$ ：語句的命題形式算子（term-forming operator）。對於任何語句 $\phi$ ，「 $\pi \phi$ 」表示 $\phi$ 所表達的命題。如果以 $S$ 來縮寫語句「蘇格拉底不存在」， $\pi S$ 表示命題「蘇格拉底不存在」。
$T$ ：應用於命題的一元真述詞。
$E$ ：關聯命題的二元述詞，表示涵蓋關係。
$\lambda$ ：變數綁定抽象算子。用來形成述詞。

說明：

假設命題變元取值範圍內的命題、以及形式為「 $\pi \phi$ 」的表達句的指稱對象，都是粗粒命題（coarse-grained proposition）：相互涵蓋的命題視為等同的。

「 $x$ 」和「 $y$ 」一般表示命題，「 $w$ 」表示世界。而世界是最大命題。

說一個命題對於一個給定的可能世界為真，就是說世界涵蓋該命題：「 $Ewx$ 」表示命題 $x$ 對於世界 $w$ 為真。
說一個命題在一個給定的可能世界為真，就是說真述詞在該可能世界中適用於它：「 $Ew\pi Tx$ 」表示命題 $x$ 在 $w$ 中為真。

「 $@$ 」表示現實世界。

一個命題為真，若且唯若它被現實世界所涵蓋： $(x)(Tx \leftrightarrow E@x)$ 。

Plantinga 指出，「命題『蘇格拉底不存在』是可能的」的述詞「是可能的」，有兩種不同的定義，它們只在命題必然存在時等價：

「是可能的 1」 $:= \lambda x \Diamond T x$ ：命題在某個可能世界為真。
「是可能的 2」 $:= \lambda x \Diamond (\exists w) Ewx$ ：命題對某個可能世界為真。

如果以 1 的方式理解可能述詞，那他應該拒絕 P2 但接受 P3（Powers 的回應）。如果以 2 的方式理解，他應該接受 P2 但拒絕 P3（Prior 的回應）。

Williamson 的論證如下：

W1. 必然地，如果我不存在，那麼命題「我不存在」為真。
W2. 必然地，如果命題「我不存在」為真，那麼該命題存在。
W3. 必然地，如果命題「我不存在」存在，那麼我就存在。
C. 必然地，我存在。

他認為「在其為真」和「對其為真」的區別不再，因為前提中的「真」出現在模態算子的範圍內。

但 Stalnaker 認為可以這樣分析：

W1a. 對於任何世界 $w$ ，如果我在 $w$ 中不存在，那麼命題「我不存在」在 $w$ 中為真。
W1b. 對於任何世界 $w$ ，如果我在 $w$ 中不存在，那麼命題「我不存在」對於 $w$ 為真。
W2a. 對於任何世界 $w$ ，如果命題「我不存在」在 $w$ 中為真，那麼命題「我不存在」在 $w$ 中存在。
W2b. 對於任何世界 $w$ ，如果命題「我不存在」對 $w$ 為真，那麼命題「我不存在」在 $w$ 中存在。

如果命題是偶然存在的， $W1b$ 和 $W2a$ 會成立，但 $W1a$ 和 $W2b$ 和 $C$ 不成立。

Williamson 拒絕「在其為真」和「對其為真」的區分的第一個理由是擔心循環。

將可能世界定義成一致且完備的命題集合：

若一個命題集合 $X$ 是一致的，若且唯若，對於任何命題 $y$ ，如果存在 $X$ 到 $y$ 的有效論證，就不存在 $X$ 到 $y$ 的矛盾命題的有效論證。
若一個命題集合 $X$ 是完備的，若且唯若，對於任何 $y$ ，存在 $X$ 到 $y$ 或其矛盾命題的有效論證。

「有效性」的解釋牽涉到必然的真值保持。因此，可能世界是以有效性的概念來解釋的，而必然性是以可能世界的真值來解釋的。這便有可能出現循環。

但這理由並非是決定性的，我們可以將命題看作原始的，並將命題看作真值的承載者。並且主張存在原始的蘊含關係，由命題所具備的最小結構決定其概念。這種最小命題理論能夠用來定義「對其為真」關係，也能定義「在其為真」關係。

Williamson 認為第二個理由更有說服力。這個論證相關部分如下（我簡化過）：

考慮偶然為真的命題，如，「Blair 在 2000 年是首相」。
該命題對 $@$ 為真，而對一些其他世界 $w$ 為假。
在該模型中，語句表示一個默示變數（tacit variable）：若將 $@$ 分派給變數則產生真值，若將 $w$ 分派給變數則產生假值（這類似 Tarski 的作法，但 Snalnaker 認為這是糟糕的類比）。
不過，Blair 在 2000 年在 $@$ 中是首相，但在 2000 年在 $w$ 中不是首相，都不是偶然的。

Stalnaker 認為，這是對於「對其為真」概念的誤解，事實上「對其為真」便是世界與命題的涵蓋關係。他認為我們應該區分這些不同命題：

(1) Blair 在 2000 年是首相。
(2) 命題 (1) 為真。
(3) (1) 對 $@$ 為真，而對 $w$ 為假。

命題若是粗粒的， (1) = (2)，因為它們互相涵蓋。但 (1) 和 (2) 都不同於 (3)。

Aviv Hoffmann 的回應

Stalnaker 的理論建立在標準的 Kripke 模型結構 $\langle W, @, \{ D_w: w \in W \} \rangle$ 上， $W$ 是邏輯空間中的點集合。其理論是， $W$ 的每個成員都與可能世界間有可定義的等價關係。可能世界是最大命題，與等價關係關聯的等價類，都是若該點被實現將會存在的最大命題的模型，來將可能世界引入。

Hoffmann 認為，在 Stalnaker 的理論中，可能世界是必然存在。他的論證如下：

首先，在邏輯空間中的每個點都在每個點中存在。相對於點的等價類是存在於該點中的可能世界的模型，在邏輯空間中，該等價類本身存在該點中。這是模態集合論（modal set theory）的集合存在公理（set existence axiom）：一個集合存在於一個可能世界中，若且唯若其所有成員都在該可能世界中（Fine 1981）。Hoffmann 認為這邊的改寫是：一個集合存在於一個點中，若且唯若，其成員在該點中。

因此，(i) 相對於每個點，其等價類成員存在於該點中。此外，(ii) 對於每個點的等價類窮盡所有邏輯空間：對於 $W$ 的每個成員 $w$ ， $W$ 的任意成員 $v$ 是對於 $w$ 的某個等價類的成員，因為 Stalnaker 將等價關係普遍定義在所有點上。根據 (i) 和 (ii)，邏輯空間中的每個點都存在於每個點之中。而根據集合存在公理，每個點的類都存在於每個點之中。因此可能世界必然存在。

以模態集合論來考慮，在 Stalnaker 的理論中，命題也會必然存在。如果每個點的等價類都在每個點中，模態集合輪表明，集合唯若其聯集存在於點中時，它們才存在於點中。因此，對於每個點的等價類的聯集存在於每個點中。相對於 $W$ 的每個成員的等價類的聯集，是該點被實現將會存在的命題的模型。因此，對於 $W$ 的每個成員 $w$ ，存在於 $w$ 中的命題存在於每個點中，因此，（必然地）命題必然存在。

Hoffmann 因此認為，Stanlnaker 的理論雖不是存在論的，但是偶然論（accidentalism）的：偶然論允許，如果蘇格拉底不存在，關於蘇格拉底的單稱「命題」會存在，只不過它本質上並不是一個命題。這主張比存在論更弱一些。