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Timothy Williamson, Modal Logic within Counterfactual Logic

Posted on:2024年6月3日 at 下午07:17
Timothy Williamson, Modal Logic within Counterfactual Logic

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在這篇文章中,「必然」、「可能」都限定是「形而上學的」。我們以 \Box\Diamond 來表示它們。反事實條件句和實質條件句分別用 \to(我省略前方的 \Box,因為顯示出來不太好看)和 \supset 來表示。

首先以兩個合理的約束來限制反事實條件句與模態的關係:

第一個約束準確來說是:如果所有 A 世界都是 B 世界,那麼要不沒有 A 世界,要不就存在一個 A 世界,使得任何與現實世界至少同樣接近的 A 世界都是 B 世界。

第二個約束則是:如果要不沒有 A 世界,要不就存在一個 A 世界使得任何與現實世界至少同樣接近的 A 世界都是 B 世界,那麼,如果存在 A 世界,也存在 B 世界。

這兩個約束將反事實條件句夾在兩模態條件間。即便這並未決定反事實條件句的充分必要條件,但有決定可能性與必然性的充分必要條件:


在不假設特定的反事實語義框架的情況下,可以根據空真值(vacuous truth)的概念,對 (7) 和 (8) 進行簡單的語義解釋。一些真的反事實條件句可以有不可能的前件,否則當 A 不可能時,AAA \to A 會失敗。對於空真值和非空真值,可以有兩個普遍假設:

而這可以推出 (7) 和 (8) 的真值。


由於 AA \to \perp 等價於 A¬AA \to \neg A

因此,(7) 和 (8) 有兩個新的等價關係:


如果我們允許在語句位置進行量化(「命題量化(propositional quantification)」),可以對 (7) 和 (8) 制定另一組變體,根據 ¬AA\neg A \to A 上等價於 p(pA)\forall p (p \to A)


Williamson 強調,由於 (7)、(9) 和 (11) 的右手邊並不嚴格同義,它們的語義結構有所不同,因此它們不嚴格同義於 A\Box A。(8)、(10) 和 (12) 因此也不嚴格同義於 A\Diamond A

2

接著 Williamson 打算以反事實條件句的正式語言中考慮這問題,並且不假設特定的形式語義進行推導。

客體語言是 LL,它有可數多個命題變量 ppqqrr、…、命題常數 \perp 和兩個二元連接詞 \supset\to。其他真值函數算子以後設語言縮寫引入;例如,¬A\neg AAA \supset \perp。「AA」、「BB」、「CC」… 是後設語言變量,表示所有構句。

除非有特殊說明,公理系統如下(\vdash 表示定理):

這些公理模式和推裡規則構成了 David Lewis 的 VC 系統(1986a)的子系統,但它缺少了 Lewis 的非冗餘公理模式 (A&B)(AB)(A \& B) \supset (A \to B),因為它在將 \to 解釋為 S5 的嚴格蘊涵時是無效的。


Williamson 表示,在具有「現實」算子 @@ 的語言中,p@pp \equiv @p 是邏輯真理。但若它是定理,那閉包和等價性(與自反性結合)都會產生定理 p@pp \to @p,但這在許多詮釋中都是錯誤的:「如果下雨了,它現實上會下雨」,如果沒下雨,這說法會是錯的。

以 Davies 和 Humberstone (1980) 的術語來說,閉包和等價性保留了一般有效性(在每個模型的每個世界中都是真的),但為保留現實世界有效性(在每個模型的現實世界中都是真的)。亦即,閉包和等價性必須遵循這個限制。

標準的必然性規則(RN:若 AA 是定理,則 A\Box A 也是)也有類似限制。即使 p@pp \supset @p 邏輯上為真,(p@p)\Box(p \supset @p) 也可能會錯。

目前來說,我們可以忽略這樣的問題,因為我們的語言中沒有「現實」算子。


接著,將 LL 擴展到語言 L+L+,加入命題量化符號:若 pp 是命題變量,而 AAL+L+ 的句式,那麼 pA\forall p A 也是 L+L+ 的句式。以相應的公理模式和規則來擴展公理:

透過歸納法,這可以證明,得到廣義上的等價性:


在可能世界語義的設置中,當命題量化符號的範圍是(給定模型相關聯的可能世界的集合)的所有子集上,UINST 和 UGEN 是健全的,但並不完備,因為無法保證存在最大的特定可能命題,讓它們正好在一世界中為真(例如,無法推導出 p(p&q(q(pq)))\exists p (p \& \forall q (q \supset \Box(p \supset q))))。


首先可以證明 A\Box AL+L+ 中的三個候選定義相互等價:

首先,(i) 和 (ii) 之間的等價性可以證明:

(ii) 和 (iii) 之間的等價性:

3

一旦定義 \Box\Diamond,我們可以在反事實邏輯中證明必然性可能性

首先,是必然性

然後,是可能性

4

最弱的正規模態邏輯是 KK,它由 PC、MP 以及以下兩個公理模式和規則來公理化:

KK 可以這樣推導:

RN 的推導:


可以證明更強的事情:在我們當前系統能推導出的模態原則恰好是可以在 KK 中推導出的那些原則。更準確地說,令 LL_\Box 為命題模態邏輯的語言,它由命題變量、\perp\supset\Box(作為原始符號)構成。令 ^∗ 為從 LL_\BoxLL 的映射,對應於我們對 \Box 的定義:

之前我們證明了,對於任何 LL_\Box 的命題 AA: 若 KA\vdash_K A,則 A\vdash ^∗A


但反方向的證明較複雜,可先定義一個輔助的「非預期」映射 ^\land,從 LL 映射回 LL_\Box

有兩個引理可以歸納法證明:

現在 AALL_\Box 的句式,且  A\vdash\ ^{\land∗}A。根據 (I),K A\vdash_K \ ^{\land*}A。根據 (II),KA A\vdash_K A \equiv\ ^{\land*}A。因此 KA\vdash_K A

因此, KA\vdash_K A,若且唯若  A\vdash\ ^{\land∗}A


系統 K 太弱,不能成為形而上學可能性和必然性的適當邏輯。最顯著的缺失原則是:

可以添加 Lewis 的「弱中心化」原則或 Stalnaker 的公理模式 (a6):

T 是 MPSUBJ 的直接結果:


可以類似方式證明,對於 LL_\Box 的任何句式 AAA^*A 是透過 MPSUBJ 擴展的系統的定理,若且唯若 AA 是 KT 的定理。


關於形而上學模態的另一個更有爭議但依然合理的原則是模態系統 S5 的特徵公理模式 E:

KTE 就是 S5。我們也可以在其中推導出 S4 的特徵原則:


E 用反事實條件句來閱讀會很難懂,這是一個更自然的等價關係:

首先,可以從 ES 推導出 E:

反過來的推導:


ES 如果改成這樣,會變成比較不可信:


雖然有 S5 的力量,但它對反事實邏輯依然是相當弱的邏輯。例如,它沒有產生 Stalnaker (1968) 的公理模式 (a7),強化的等價性:


此外,4 模態 AA\Box \Box A \supset \Box A 等價於:

B 模態 AA\Box A \supset \Diamond A 等價於:

證明是類似的。

5

有人可能認為,依賴於空真值的假設是錯誤的(Nolan 1997)。例如,一個錯誤地相信自己對「5 + 7 等於多少?」回答了「13」的人說了 (a);但事實上他回答了「11」:

A\Box A 為真,而 ¬A\neg A \to \perp (a) 為假。

爭議中的前提是必然性

如果所有反可能性都是錯的,那麼 A\Diamond A 將等價於 AAA \to A,因為後者在 AA 可能的時候仍然為真;相應地,A\Box A 將等價於 ¬(¬A¬A)\neg(\neg A \to \neg A)

但反對者認為的是,反可能性的真值取決於其後件,(a) 雖然為假,但 (b) 為真:


Williamson 認為這些例子不太有說服力:

  1. 它們禁不起仔細思考。如果 5 + 7 等於 13,那麼 5 + 6 等於 12,因此,0 等於 1。因此如果我給出的正確答案的數量是 0,我給出的正確答案的數量會是 1。
  2. 這些所謂直覺值得懷疑。像是,對於不可能的 AAA¬BA \to \neg B 可能會被「直覺」誤認為 ¬(AB)\neg(A\to B) 的真值,因此被誤認為 ABA \to B 的假值。

最後一個反對的典型案例是 (c):

由於 Hesperus 就是 Phosphorus,因此根據同一性的必然性,Hesperus 不是 Phosphorus 在形上學上是不可能的。

然而,反對者可能會堅持,在發展 Hesperus 不是 Phosphorus 的反事實假設時,我們承諾不顯式地否定任何邏輯真理,可以把它發展成邏輯上融貫但形上學不可能的情況:它排除「Phosphorus 不是 Phosphorus」。

但他們很可能會接受這個自反性的普通實例:

然而,一般來說,在反事實上下文中,共同指涉的專名是可以互換的。如從 (e) 和 (f) 推導到 (g) 的論證是無爭議地有效的:

那麼,從 (d) 和 (f) 推導到 (c) 的論證也應該是有效的。但 (d) 和 (f) 是無爭議地為真的,這樣 (c) 就必須也為真,那這樣該如何解釋?如果拒絕 (c) 那就必須否認這個推導的有效性。這樣的話就必須主張,反事實條件句為專名構成了不透明語境(opaque context)。

Williamson 認為這很不可信。

(e) 和 (g) 在實質上等價的,它們的前件和後件涉及相同的對象、性質和關係:使用不同名字並不重要,因為反事實並不關心這種表徵特徵。(c) 和 (d) 也是。(c) 和 (d) 的前件事實上在形而上學上是不可能的,這並不會改變它們的對象。反事實條件句構成的透明性關心其一般邏輯形式,而非前件的特定內容。

6

以反事實條件句來解釋形上學模態,為許多老問題提供新視角。

考慮在模態語境中量化的問題。目前對模態的理解,在模態算子的作用域內進行量化,等同於在反事實語境中進行量化,作為一個特例。

如 (h) 和 (i):

因此,對 de re 必然性主張的理解挑戰,等同於對 (h) 和 (i) 等反事實的理解挑戰。但 (h) 和 (i) 顯然可理解。


另一個例子,在模態知識論的討論中,經常將想象力或可理解性作為可能性測試,卻忽略了想像力在評估世俗的反事實條件句中的作用。他們忽略了理解模態與想像力間關係的適當語境。

想像力可以被認為在認知上毫無價值。但是,它在評估反事實條件句中雖不可靠,但有至關重要的作用,那麼它在評估可能性和必然性主張中的作用或許也可以更開放。