Timothy Williamson, Modal Logic within Counterfactual Logic

1

在這篇文章中，「必然」、「可能」都限定是「形而上學的」。我們以 $\Box$ 和 $\Diamond$ 來表示它們。反事實條件句和實質條件句分別用 $\to$ （我省略前方的 $\Box$ ，因為顯示出來不太好看）和 $\supset$ 來表示。

首先以兩個合理的約束來限制反事實條件句與模態的關係：

(必然性) $\Box (A \supset B) \supset (A \to B)$
(可能性) $(A \to B) \supset (\Diamond A \supset \Diamond B)$

第一個約束準確來說是：如果所有 A 世界都是 B 世界，那麼要不沒有 A 世界，要不就存在一個 A 世界，使得任何與現實世界至少同樣接近的 A 世界都是 B 世界。

第二個約束則是：如果要不沒有 A 世界，要不就存在一個 A 世界使得任何與現實世界至少同樣接近的 A 世界都是 B 世界，那麼，如果存在 A 世界，也存在 B 世界。

這兩個約束將反事實條件句夾在兩模態條件間。即便這並未決定反事實條件句的充分必要條件，但有決定可能性與必然性的充分必要條件：

(1) $\Box(\neg A \supset \perp) \supset (\neg A \to \perp)$ （根據必然性）
(2) $\Box A \supset \Box(\neg A \supset \perp)$ （根據標準模態）
(3) $\Box A \supset (\neg A \to \perp)$ （根據 1 和 2）
(4) $(\neg A \to \perp) \supset (\Diamond \neg A \supset \Diamond \perp)$ （根據可能性）
(5) $(\Diamond \neg A \supset \Diamond \perp) \supset \Box A$ （根據標準模態）
(6) $(\neg A \to \perp) \supset \Box A$ （根據 4 和 5）
(7) $\Box A \equiv (\neg A \to \perp)$ （根據 3 和 6）
(8) $\Diamond A \equiv \neg(A \to \perp)$ （根據 7）

在不假設特定的反事實語義框架的情況下，可以根據空真值（vacuous truth）的概念，對 (7) 和 (8) 進行簡單的語義解釋。一些真的反事實條件句可以有不可能的前件，否則當 A 不可能時， $A \to A$ 會失敗。對於空真值和非空真值，可以有兩個普遍假設：

(a) $B \to C$ 是空真的，若且唯若 $B$ 是不可能的；
(b) $B \to C$ 是非空真的，若且唯若 $C$ 是可能的。

而這可以推出 (7) 和 (8) 的真值。

由於 $A \to \perp$ 等價於 $A \to \neg A$ 。

因此，(7) 和 (8) 有兩個新的等價關係：

(9) $\Box A \equiv (\neg A \to A)$
(10) $\Diamond A \equiv \neg(A \to \neg A)$

如果我們允許在語句位置進行量化（「命題量化（propositional quantification）」），可以對 (7) 和 (8) 制定另一組變體，根據 $\neg A \to A$ 上等價於 $\forall p (p \to A)$ ：

(11) $\Box A \equiv \forall p (p \to A)$
(12) $\Diamond A \equiv \exists p \neg(p \to \neg A)$

Williamson 強調，由於 (7)、(9) 和 (11) 的右手邊並不嚴格同義，它們的語義結構有所不同，因此它們不嚴格同義於 $\Box A$ 。(8)、(10) 和 (12) 因此也不嚴格同義於 $\Diamond A$ 。

2

接著 Williamson 打算以反事實條件句的正式語言中考慮這問題，並且不假設特定的形式語義進行推導。

客體語言是 $L$ ，它有可數多個命題變量 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 、…、命題常數 $\perp$ 和兩個二元連接詞 $\supset$ 和 $\to$ 。其他真值函數算子以後設語言縮寫引入；例如， $\neg A$ 是 $A \supset \perp$ 。「 $A$ 」、「 $B$ 」、「 $C$ 」… 是後設語言變量，表示所有構句。

除非有特殊說明，公理系統如下（ $\vdash$ 表示定理）：

(PC) 如果 A 是真值函數恆真句，那麼 $\vdash A$
(自反性) $\vdash A \to A$
(空真性) $\vdash (\neg A \to A) \supset (B \to A)$
(MP) 如果 $\vdash A \supset B$ 且 $\vdash A$ ，那麼 $\vdash B$
(閉包) 如果 $\vdash (B_1 \& ... \& B_n) \supset C$ ，那麼 $\vdash ((A \to B_1) \& ... \& (A \to B_n)) \supset (A \to C)$
(等價性) 如果 $\vdash A \equiv A^*$ ，那麼 $\vdash (A \to B) \equiv (A^* \to B)$

這些公理模式和推理規則構成了 David Lewis 的 VC 系統（1986a）的子系統，但缺少了 Lewis 的非冗餘公理模式 $(A \& B) \supset (A \to B)$ ，因為它在將 $\to$ 解釋為 S5 的嚴格蘊涵時是無效的。

Williamson 表示，在具有嚴格化「現實」算子 $@$ 的語言中， $p \equiv @p$ 很可能是邏輯真理。但若它是定理，那閉包和等價性（與自反性結合）都會產生定理 $p \to @p$ ，但這在許多詮釋中都是錯誤的：「如果下雨了，它現實上會下雨」，如果沒下雨，這說法會是錯的。

以 Davies 和 Humberstone (1980) 的術語來說，閉包和等價性保留了一般有效性（在每個模型的每個世界中都是真的），但並未保留現實世界有效性（在每個模型的現實世界中都是真的）。亦即，閉包和等價性必須遵循這個限制。

標準的必然性規則（RN：若 $A$ 是定理，則 $\Box A$ 也是）也有類似限制。即使 $p \supset @p$ 邏輯上為真， $\Box(p \supset @p)$ 也可能會錯。

目前來說，我們可以忽略這樣的問題，因為我們的語言中沒有「現實」算子。

接著，將 $L$ 擴展到語言 $L+$ ，加入命題量化符號：若 $p$ 是命題變量，而 $A$ 是 $L+$ 的句式，那麼 $\forall p A$ 也是 $L+$ 的句式。以相應的公理模式和規則來擴展公理：

(UINST) 如果 $p$ 是命題變量，那麼 $\vdash \forall p A \supset A[B/p]$
(UGEN) 如果 $p$ 是 $A$ 中沒有自由出現的命題變量，且 $\vdash A \supset B$ ，那麼 $\vdash A \supset \forall p B$

透過歸納法，這可以證明，得到廣義上的等價性：

如果 $\vdash B \equiv B^*$ ，那麼對於任何句式 $A$ 和命題變量 $p$ ， $\vdash A[B/p] \equiv A[B^*/p]$

在可能世界語義的設置中，當命題量化符號的範圍是（給定模型相關聯的可能世界的集合）的所有子集上，UINST 和 UGEN 是健全的，但並不完備，因為無法保證存在最大的特定可能命題，讓它們正好在一世界中為真（例如，無法推導出 $\exists p (p \& \forall q (q \supset \Box(p \supset q)))$ ）。

首先可以證明 $\Box A$ 在 $L+$ 中的三個候選定義相互等價：

(i) $\forall p (p \to A)$ （ $p$ 在 $A$ 中沒有自由出現）
(ii) $\neg A \to A$
(iii) $\neg A \to \perp$

首先，(i) 和 (ii) 之間的等價性可以證明：

(1) $\forall p (p \to A) \supset (\neg A \to A)$ UINST
(2) $(\neg A \to A) \supset (p \to A)$ 空真性
(3) $(\neg A \to A) \supset \forall p (p \to A)$ 2，UGEN
(4) $\forall p (p \to A) \equiv (\neg A \to A)$ 1，3，PC，MP

(ii) 和 (iii) 之間的等價性：

(1) $(A \& \neg A) \supset \perp$ PC
(2) $((\neg A \to A) \& (\neg A \to \neg A)) \supset (\neg A \to \perp)$ 1，閉包
(3) $\neg A \to \neg A$ 自反性
(4) $(\neg A \to A) \supset (\neg A \to \perp)$ 2，3，PC，MP
(5) $\perp \supset A$ PC
(6) $(\neg A \to \perp) \supset (\neg A \to A)$ 5，閉包
(7) $(\neg A \to A) \equiv (\neg A \to \perp)$ 4，6，PC，MP

3

一旦定義 $\Box$ 和 $\Diamond$ ，我們可以在反事實邏輯中證明必然性和可能性。

首先，是必然性：

(1) $\Box(A \supset B) \supset (\neg(A \supset B) \to \perp)$ DEF $\Box$ ，PC
(2) $(\neg(A \supset B) \to \perp) \supset (\neg(A \supset B) \to (A \supset B))$ PC，閉包
(3) $(\neg(A \supset B) \to (A \supset B)) \supset (A \to (A \supset B))$ 空真性
(4) $\Box(A \supset B) \supset (A \to (A \supset B))$ 1，2，3，PC，MP
(5) $((A \to (A \supset B)) \& (A \to A)) \supset (A \to B)$ PC，閉包
(6) $(A \to (A \supset B)) \supset (A \to B)$ 5，自反性，PC，MP
(7) $\Box(A \supset B) \supset (A \to B)$ 4，6，PC，MP。

然後，是可能性：

(1) $\neg \Diamond B \supset (\neg \neg B \to \perp)$ DEF $\Diamond$ ，PC
(2) $(\neg \neg B \to \perp) \supset (\neg \neg B \to \neg B)$ PC，閉包
(3) $(\neg \neg B \to \neg B) \supset (A \to \neg B)$ 空真性
(4) $\neg \Diamond B \supset (A \to \neg B)$ 1，2，3，PC，MP
(5) $((A \to B) \& (A \to \neg B)) \supset (A \to \perp)$ PC，閉包
(6) $((A \to B) \& \neg \Diamond B) \supset (A \to \perp)$ 4，5，PC，MP
(7) $(\neg \neg A \to \perp) \supset \neg \Diamond A$ DEF $\Diamond$ ，PC
(8) $(A \to \perp) \supset (\neg \neg A \to \perp)$ PC，等價性
(9) $((A \to B) \& \neg \Diamond B) \supset \neg \Diamond A$ 6，7，8，PC，MP
(10) $(A \to B) \supset (\Diamond A \supset \Diamond B)$ 9，PC，MP。

4

最弱的正規模態邏輯是 $K$ ，它由 PC、MP 以及以下兩個公理模式和規則來公理化：

K $\Box(A \supset B) \supset (\Box A \supset \Box B)$
RN 如果 $\vdash A$ ，那麼 $\vdash \Box A$

$K$ 可以這樣推導：

(1) $\Box A \supset (\neg A \to \perp)$ PC，DEF $\Box$
(2) $\Box A \supset (\neg A \to A)$ 1，PC，閉包，MP
(3) $\Box A \supset (\neg B \to A)$ 2，空真性，PC，MP
(4) $\Box(A \supset B) \supset (\neg B \to (A \supset B))$ 類似 3
(5) $((\neg B \to (A \supset B)) \& (\neg B \to A)) \supset (\neg B \to B)$ PC，閉包
(6) $(\Box(A \supset B) \& \Box A) \supset (\neg B \to B)$ 3，4，5，PC，MP
(7) $(\neg B \to B) \supset (\neg B \to \perp)$ 自反性，閉包，PC，MP
(8) $(\neg B \to B) \supset \Box B$ 7，DEF $\Box$
(9) $\Box(A \supset B) \supset (\Box A \supset \Box B)$ 6，8，PC，MP。

RN 的推導：

(1) 假設 $A$ 是一個定理
(2) $\neg A \supset \perp$ 1，PC，MP
(3) $(\neg A \to \neg A) \supset (\neg A \to \perp)$ 2，閉包
(4) $\neg A \to \perp$ 3，自反性，PC，MP
(5) $\Box A$ 4，DEF $\Box$ .

可以證明更強的事情：在我們當前系統能推導出的模態原則恰好是可以在 $K$ 中推導出的那些原則。更準確地說，令 $L_\Box$ 為命題模態邏輯的語言，它由命題變量、 $\perp$ 、 $\supset$ 和 $\Box$ （作為原始符號）構成。令 $^∗$ 為從 $L_\Box$ 到 $L$ 的映射，對應於我們對 $\Box$ 的定義：

對於每個命題變量 $p$ ， $^∗p$ = $p$
$^∗\perp$ = $\perp$
$^∗(A \supset B)$ = $^∗A \supset ^∗B$
$^∗\Box A$ = $\neg ^∗A \to \perp$

之前我們證明了，對於任何 $L_\Box$ 的命題 $A$ ：若 $\vdash_K A$ ，則 $\vdash ^∗A$ 。

但反方向的證明較複雜，可先定義一個輔助映射 $^\land$ ，從 $L$ 映射回 $L_\Box$ ：

對於每個命題變量 $p$ ， $^\land p$ = $p$
$^\land\perp$ = $\perp$
$^\land(A \supset B)$ = $^\land A \supset ^\land B$
$^\land(A\to B)$ = $\Box(^\land A \supset ^\land B)$

有兩個引理可以歸納法證明：

(I) 對於 $L$ 的任何句式 $A$ ，如果 $\vdash A$ ，那麼 $\vdash_K\ ^\land A$ 。
(II) 對於 $L$ 的任何句式 $A$ ， $\vdash_K A \equiv\ ^{\land∗}A$ 。

現在 $A$ 是 $L_\Box$ 的句式，且 $\vdash\ ^{\land∗}A$ 。根據 (I)， $\vdash_K \ ^{\land*}A$ 。根據 (II)， $\vdash_K A \equiv\ ^{\land*}A$ 。因此 $\vdash_K A$ 。

因此， $\vdash_K A$ ，若且唯若 $\vdash\ ^{\land∗}A$ 。

系統 K 太弱，不能成為形而上學可能性和必然性的適當邏輯。最顯著的缺失原則是：

(T) $\vdash \Box A \supset A$

可以添加 Lewis 的「弱中心化」原則或 Stalnaker 的公理模式 (a6)：

(MPSUBJ) $\vdash(A \to B) \supset (A \supset B)$ .

T 是 MPSUBJ 的直接結果：

(1) $(\neg A \to \perp) \supset (\neg A \supset \perp)$ MPSUBJ
(2) $(\neg A \to \perp) \supset A$ 1，PC，MP
(3) $\Box A \supset A$ 2，DEF $\Box$ .

可以類似方式證明，對於 $L_\Box$ 的任何句式 $A$ ， $^*A$ 是透過 MPSUBJ 擴展的系統的定理，若且唯若 $A$ 是 KT 的定理。

關於形而上學模態的另一個更有爭議但依然合理的原則是模態系統 S5 的特徵公理模式 E：

(E) $\Diamond A \supset \Box \Diamond A$ .

KTE 就是 S5。我們也可以在其中推導出 S4 的特徵原則：

(4) $\Box A \supset \Box \Box A$

E 用反事實條件句來閱讀會很難懂，這是一個更自然的等價關係：

(ES) $(A \to (B \to \perp)) \supset ((\neg A \to \perp) \vee (B \to \perp))$ .

首先，可以從 ES 推導出 E：

(1) $((\neg \neg A \to \perp) \to (\neg \neg A \to \perp)) \supset (((\neg \neg A \to \perp) \to \perp) \vee (\neg \neg A \to \perp))$ ES
(2) $((\neg \neg A \to \perp) \to \perp) \vee (\neg \neg A \to \perp)$ 1，自反性，MP
(3) $\neg(\neg \neg A \to \perp) \supset (\neg \neg(\neg \neg A \to \perp) \to \perp)$ 2，等價性，PC，MP
(4) $\Diamond A \supset \Box \Diamond A$ 3，DEF $\Diamond$ ，DEF $\Box$ .

反過來的推導：

(1) $\Diamond B \supset \Box \Diamond B$ E
(2) $\neg(B \to \perp) \supset (\neg \neg(B \to \perp) \to \perp)$ 1，等價性，PC，MP，DEF $\Diamond$ ，DEF $\Box$
(3) $(\neg \neg(B \to \perp) \to \perp) \supset (\neg \neg(B \to \perp) \to \neg(B \to \perp))$ 閉包，MP，PC
(4) $\neg(B \to \perp) \supset (\neg \neg(B \to \perp) \to \neg(B \to \perp))$ 2，3，MP，PC
(5) $\neg(B \to \perp) \supset (A \to \neg(B \to \perp))$ 4，空真性，MP，PC
(6) $((A \to (B \to \perp)) \& (A \to \neg(B \to \perp))) \supset (A \to \perp)$ 閉包，MP，PC
(7) $(A \to (B \to \perp)) \supset ((\neg A \to \perp) \vee (B \to \perp))$ 5，6，MP，PC。

ES 如果改成這樣，會變成比較不可信：

(ES+) $(A \to (B \to C)) \supset ((\neg A \to C) \vee (B \to C))$ .

雖然有 S5 的力量，但它對反事實邏輯依然是相當弱的邏輯。例如，它沒有產生 Stalnaker (1968) 的公理模式 (a7)，強化的等價性：

(a7) $((A \to B) \& (B \to A)) \supset ((A \to C) \supset (B \to C))$ .

此外，4 模態 $\Box \Box A \supset \Box A$ 等價於：

(4S) $(A \to \perp) \supset (B \to (A \to \perp))$ .

B 模態 $\Box A \supset \Diamond A$ 等價於：

(BS) $(A \to (B \to \perp)) \supset (B \supset (A \to \perp))$ .

證明是類似的。

5

有人可能認為，依賴於空真值的假設是錯誤的（Nolan 1997）。例如，一個錯誤地相信自己對「5 + 7 等於多少？」回答了「13」的人說了 (a)；但事實上他回答了「11」：

(a) 如果 5 + 7 等於 13，那麼我會把它算對。

$\Box A$ 為真，而 $\neg A \to \perp$ (a) 為假。

爭議中的前提是必然性。

如果所有反可能性都是錯的，那麼 $\Diamond A$ 將等價於 $A \to A$ ，因為後者在 $A$ 可能的時候仍然為真；相應地， $\Box A$ 將等價於 $\neg(\neg A \to \neg A)$ 。

但反對者認為的是，反可能性的真值取決於其後件，(a) 雖然為假，但 (b) 為真：

(b) 如果 5 + 7 等於 13，那麼我會把它算錯。

Williamson 認為這些例子不太有說服力：

它們禁不起仔細思考。如果 5 + 7 等於 13，那麼 5 + 6 等於 12，因此，0 等於 1。因此如果我給出的正確答案的數量是 0，我給出的正確答案的數量會是 1。
這些所謂直覺值得懷疑。像是，對於不可能的 $A$ ， $A \to \neg B$ 可能會被「直覺」誤認為 $\neg(A\to B)$ 的真值，因此被誤認為 $A \to B$ 的假值。

最後一個反對的典型案例是 (c)：

由於 Hesperus 就是 Phosphorus，因此根據同一性的必然性，Hesperus 不是 Phosphorus 在形上學上是不可能的。

然而，反對者可能會堅持，在發展 Hesperus 不是 Phosphorus 的反事實假設時，我們承諾不顯式地否定任何邏輯真理，可以把它發展成邏輯上融貫但形上學不可能的情況：它排除「Phosphorus 不是 Phosphorus」。

但他們很可能會接受這個自反性的普通實例：

(d) 如果 Hesperus 不是 Phosphorus，那麼 Hesperus 就不是 Phosphorus。

然而，一般來說，在反事實上下文中，共同指涉的專名是可以互換的。如從 (e) 和 (f) 推導到 (g) 的論證是無爭議地有效的：

(e) 如果火箭繼續沿著那條航線飛行，它就會撞擊 Hesperus。
(f) Hesperus = Phosphorus。
(g) 如果火箭繼續沿著那條航線飛行，它就會撞擊 Phosphorus。

那麼，從 (d) 和 (f) 推導到 (c) 的論證也應該是有效的。但 (d) 和 (f) 是無爭議地為真的，這樣 (c) 就必須也為真，那這樣該如何解釋？如果拒絕 (c) 那就必須否認這個推導的有效性。這樣的話就必須主張，反事實條件句為專名構成了不透明語境（opaque context）。

Williamson 認為這很不可信。

(e) 和 (g) 在實質上等價，它們的前件和後件涉及相同的對象、性質和關係：使用不同名字並不重要，因為反事實並不關心這種表徵特徵。(c) 和 (d) 也是。(c) 和 (d) 的前件事實上在形而上學上是不可能的，這並不會改變它們的對象。反事實條件句構成的透明性關心其一般邏輯形式，而非前件的特定內容。

6

以反事實條件句來解釋形上學模態，為許多老問題提供新視角。

考慮在模態語境中量化的問題。目前對模態的理解，在模態算子的作用域內進行量化，等同於在反事實語境中進行量化，作為一個特例。

如 (h) 和 (i)：

(h) 每個如果措施通過就會受益的人，都投票支持了它。
(i) 如果灌木叢不在那，石頭會落到哪？

因此，對 de re 必然性主張的理解挑戰，等同於對 (h) 和 (i) 等反事實的理解挑戰。但 (h) 和 (i) 顯然可理解。

另一個例子，在模態知識論的討論中，經常將想象力或可理解性作為可能性測試，卻忽略了想像力在評估世俗的反事實條件句中的作用。他們忽略了理解模態與想像力間關係的適當語境。

想像力可以被認為在認知上毫無價值。但是，它在評估反事實條件句中雖不可靠，但有至關重要的作用，那麼它在評估可能性和必然性主張中的作用或許也可以更開放。