Zalta, Edward N., “Frege’s Theorem and Foundations for Arithmetic”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2024 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.).

這篇文章整理了我們如何透過 Frege 方法來建立自然數，包括相應的 Dedekind/Peano 公理。

基本術語

為了明確這個過程，我們使用現代語言符號來進行表述。我們在這裡需要二階述詞邏輯語言。這個語言形式我不特別描述，但有以下運算需要加入。

理解性

我們有對於概念的理解性原理（Comprehension Principle）。

對於任何一個 $G$ 未自由出現的句式 $\phi$ ，以下成立：
$\exists G\forall x(Gx \equiv \phi)$ 。

此外，我們也需要對於關係的理解性原理。

對於任何一個 $R$ 未自由出現的句式 $\phi$ ，以下成立：
$\exists R \forall x \forall y (Rxy \equiv \phi)$ 。

lambda

我們可以定義 $\lambda$ 函數，能對表達進行抽象。 $\lambda x Fx$ 表示「是符合 $Fx$ 的 $x$ 」的述詞。

形式上來說，我們引入「 $\lambda$ 規約」公理（ $\phi^y_x$ 表示以對象變元 $y$ 取代 $\phi$ 中出現的對象變元 $x$ ）：

存在 $\lambda$ 函數，使得對於任何句式 $\phi$ ， $\lambda$ 滿足：
$\forall y([\lambda x \phi]y\equiv \phi ^y _x)。$

Hume 的原理

基本定律 V

Frege 將 $\breve{\epsilon} f (\epsilon)$ 和 $\breve{\alpha} g (\alpha)$ 分別代表函數 $f$ 和 $g$ 的函數值序列（courses-of-values）的指稱。亦即，符號 $\breve{\epsilon}$ 和 $\breve{\alpha}$ 綁定了表達式 $f (\epsilon)$ 和 $g (\alpha)$ 中的對象變量 $\epsilon$ 和 $\alpha$ ，並指示其函數值序列。

基本定律 V 可以寫成：

$\breve{\epsilon} f (\epsilon) = \breve{\alpha} g (\alpha) \equiv \forall x [f (x) = g (x)]$ 。

我們可以看到，基本定律 V，蘊含了外延存在原理，使得我們能合法定義 $\epsilon$ 函數，將概念對應到它的外延。一個對象落在概念 $F$ 中，可以表述成 $x \in \epsilon F$ 。

我們可以把基本定律 V 表述為：

$\epsilon F = \epsilon G \equiv \forall x (Fx \equiv Gx)$

我們如今都知道 Frege 遇到的麻煩：外延存在法則蘊含了羅素悖論。如何修復 Frege 的論證因此成為一個複雜的問題，但透過 C. Parsons（1965）、Wright（1983）和 Heck（1993）的研究，目前有一個不錯的策略：擱置基本定律 V。

擱置基本定律 V

首先，Heck 指出 Frege 使用基本定律 V，只是為了證明 Hume 的原理，在證明的後續再沒有用到該定律。

為了說明該原理，我們再引入一些符號：

$\sharp F$ ：屬於 $F$ 的數。Frege 論證，數是屬於概念的概念，如其外延的個數。
$F \approx G$ ： $F$ 等數於 $G$ 。等數性（equinumerosity）是在 Cantor 的原始意義下定義的，即，兩個概念是等數的，表示在兩概念間存在一個一對一映成關係。我們可以簡單檢驗等數關係是等價關係。

Hume 的原理即：

$\sharp F = \sharp G \equiv F \approx G$ 。

一旦有了 Hume 的原理，Frege 就可以定義基數：

$x$ 是一個基數 $=_\text{df} \exists F(x = \sharp F)$ 。

而 Parsons 首先發現（並由 Wright 補充了整個論證），Frege 只需要 Hume 的原理就能得到他要的自然數以及相關公理。因此，我們可以擱置這個爭議，只需要引入 Hume 的原理。

尤利烏斯．凱撒問題

雖然 Hume 的原理能夠取代基本法則 V，但這原理對於 Frege 來說其實太弱了，因為 Hume 的原理並沒有說明數字對象該如何理解的知識論答案。

這是「尤利烏斯．凱撒問題」，因為 Frege 認為，我們似乎有必要區分究竟尤利烏斯．凱撒為何不是一個數字。即便 Hume 的原則有說明數字的同一性是什麼回事，但它無法排除任意對象和數字為何不是等同。如果數字關乎一個概念，因此是一個函數，那它的值域是什麼？

因此，即便我們透過 Hume 的原則證明了 Frege 的論證如何有效，這不見得會是 Frege 能接受的。

自然數

自然數的定義有以下步驟：

建立概念的數如何接續，即定義前身（predecessor）；
建立概念的數在關係的序，即定義先祖（ancestral）；
定義自然數並證明相關公理，在這裡稱作 Frege 定理。這個證明有點瑣碎，我在這裡便略過了。

前身（即自然數的後繼概念）

概念的數的新關係，即前身。假如給定一個數 $x$ ，假如 $y$ 和 $x$ 直接相續，表示 $y$ 是某個概念 $F$ 的數，那會有一個對象 $w$ ，這個對象落在 $F$ 之中，而 $x$ 會落在 $F$ 扣掉 $w$ 的概念之中。

形式化定義為：

$Procedes (x,y) := \exists F \exists w (Fw \land y = \sharp F \land x = \sharp [ \lambda z Fz \land z \not= w ] )$

透過前身，我們可以建立序（order），Frege 透過由關係衍生的先祖關係來建立。

先祖與弱先祖

假設我們有一個關係 $R(x,y)$ ，我們希望定義先祖關係。但這先祖關係並不定義成：

$R^? xy = \exists z_1, z_2,...,z_n (Rx,z_1 \land Rx,z_2 ... \land Rz_n,y)$ 。

我想是因為 Frege 在這裡需要繼承關係，確保能簡單引入歸納法原理。

Frege 在此需要的是，給定 $F$ ，先祖關係 $R^*$ 能夠讓 $F$ 在 $R$ 中被繼承（hereditary）：

$Her(F,R) =_\text{df} \forall x \forall y (Rxy \rightarrow (Fx \rightarrow Fy))$ 。

Frege 在這裡需要的是一種先祖關係序列，如果 $x$ 和 $y$ 處於該關係，那麼只要所有的 $y$ 以前的對象都繼承 $F$ ，就也要將 $F$ 繼承給 $y$ 。嚴格來說，先祖關係序列 $R^*$ 的形式定義如下：

$R^*(x,y) =_\text{df} \forall F [(\forall z(Rxz \rightarrow Fz) \land Her(F, R)) \rightarrow Fy]$ 。

接著可以定義弱先祖關係（這類似於一種偏序關係）：

$R^+(x,y) := R^*(x,y) \lor x = y$ 。

自然數

自然數可以這樣定義：

$N_0 = 0$ ，
$Nx =_\text{df} Procedes^+(0,x)$ 。

$0$ 可以定義成沒有任何外延的 $F$ 的數，譬如說， $F$ 是「自身不等同」的概念。在這裡， $0$ 必須滿足：

$\sharp F=0 \equiv \neg \exists x Fx$ 。

如此，我們僅剩下證明這個 $Nx$ 具有以下性質的工作：

$0$ 是一個自然數。
$0$ 沒有嚴格先祖。
兩個不同的自然數，不會有相同的後繼數。
數學歸納法原理。
所有自然數都有後繼數。

這個證明有些瑣碎，我在這裡便略過了。

論 Frege 的代數基礎與 Frege 定理