Zalta, Edward N., “Frege’s Theorem and Foundations for Arithmetic”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2024 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.).
這篇文章整理了我們如何透過 Frege 方法來建立自然數,包括相應的 Dedekind/Peano 公理。
基本術語
為了明確這個過程,我們使用現代語言符號來進行表述。我們在這裡需要二階述詞邏輯語言。這個語言形式我不特別描述,但有以下運算需要加入。
理解性
我們有對於概念的理解性原理(Comprehension Principle)。
對於任何一個 未自由出現的句式 ,以下成立:
。
此外,我們也需要對於關係的理解性原理。
對於任何一個 未自由出現的句式 ,以下成立:
。
lambda
我們可以定義 函數,能對表達進行抽象。 表示「是符合 的 」的述詞。
形式上來說,我們引入「 規約」公理( 表示以對象變元 取代 中出現的對象變元 ):
存在 函數,使得對於任何句式 , 滿足:
Hume 的原理
基本定律 V
Frege 將 和 分別代表函數 和 的函數值序列(courses-of-values)的指稱。亦即,符號 和 綁定了表達式 和 中的對象變量 和 ,並指示其函數值序列。
基本定律 V 可以寫成:
。
我們可以看到,基本定律 V,蘊含了外延存在原理,使得我們能合法定義 函數,將概念對應到它的外延。一個對象落在概念 中,可以表述成 。
我們可以把基本定律 V 表述為:
我們如今都知道 Frege 遇到的麻煩:外延存在法則蘊含了羅素悖論。如何修復 Frege 的論證因此成為一個複雜的問題,但透過 C. Parsons(1965)、Wright(1983)和 Heck(1993)的研究,目前有一個不錯的策略:擱置基本定律 V。
擱置基本定律 V
首先,Heck 指出 Frege 使用基本定律 V,只是為了證明 Hume 的原理,在證明的後續再沒有用到該定律。
為了說明該原理,我們再引入一些符號:
- :屬於 的數。Frege 論證,數是屬於概念的概念,如其外延的個數。
- : 等數於 。等數性(equinumerosity)是在 Cantor 的原始意義下定義的,即,兩個概念是等數的,表示在兩概念間存在一個一對一映成關係。我們可以簡單檢驗等數關係是等價關係。
Hume 的原理即:
。
一旦有了 Hume 的原理,Frege 就可以定義基數:
是一個基數 。
而 Parsons 首先發現(並由 Wright 補充了整個論證),Frege 只需要 Hume 的原理就能得到他要的自然數以及相關公理。因此,我們可以擱置這個爭議,只需要引入 Hume 的原理。
尤利烏斯.凱撒問題
雖然 Hume 的原理能夠取代基本法則 V,但這原理對於 Frege 來說其實太弱了,因為 Hume 的原理並沒有說明數字對象該如何理解的知識論答案。
這是「尤利烏斯.凱撒問題」,因為 Frege 認為,我們似乎有必要區分究竟尤利烏斯.凱撒為何不是一個數字。即便 Hume 的原則有說明數字的同一性是什麼回事,但它無法排除任意對象和數字為何不是等同。如果數字關乎一個概念,因此是一個函數,那它的值域是什麼?
因此,即便我們透過 Hume 的原則證明了 Frege 的論證如何有效,這不見得會是 Frege 能接受的。
自然數
自然數的定義有以下步驟:
- 建立概念的數如何接續,即定義前身(predecessor);
- 建立概念的數在關係的序,即定義先祖(ancestral);
- 定義自然數並證明相關公理,在這裡稱作 Frege 定理。這個證明有點瑣碎,我在這裡便略過了。
前身(即自然數的後繼概念)
概念的數的新關係,即前身。假如給定一個數 ,假如 和 直接相續,表示 是某個概念 的數,那會有一個對象 ,這個對象落在 之中,而 會落在 扣掉 的概念之中。
形式化定義為:
透過前身,我們可以建立序(order),Frege 透過由關係衍生的先祖關係來建立。
先祖與弱先祖
假設我們有一個關係 ,我們希望定義先祖關係。但這先祖關係並不定義成:
。
我想是因為 Frege 在這裡需要繼承關係,確保能簡單引入歸納法原理。
Frege 在此需要的是,給定 ,先祖關係 能夠讓 在 中被繼承(hereditary):
。
Frege 在這裡需要的是一種先祖關係序列,如果 和 處於該關係,那麼只要所有的 以前的對象都繼承 ,就也要將 繼承給 。嚴格來說,先祖關係序列 的形式定義如下:
。
接著可以定義弱先祖關係(這類似於一種偏序關係):
。
自然數
自然數可以這樣定義:
- ,
- 。
可以定義成沒有任何外延的 的數,譬如說, 是「自身不等同」的概念。在這裡, 必須滿足:
。
如此,我們僅剩下證明這個 具有以下性質的工作:
- 是一個自然數。
- 沒有嚴格先祖。
- 兩個不同的自然數,不會有相同的後繼數。
- 數學歸納法原理。
- 所有自然數都有後繼數。
這個證明有些瑣碎,我在這裡便略過了。