基本術語定義
全立基(fully grounded)。
定義偏立基
偏立基 存在 使得 且 全立基 。
公理
全非反身性。對於任何 , 非全立基 。
全切消。若 全立基 ,且 全立基 ,則 全立基 。
透過這兩個公理,我們可以推出 偏非反身性、全對稱性、偏對稱性、全遞移性、偏遞移性。
定義立基結構
立基結構。 構成一個立基結構(grounding structure) 存在 和 ,,使得 y 偏立基 x。
立基鏈。 構成一個立基鏈(grounding chain) (i) 構成一個立基結構,並且 (ii) 對於所有 和 ,,要嘛 偏立基 ,要嘛 偏立基 ,要嘛 。
無限後退與循環
何謂立基的無限後退?T. Scott Dixon 認為,那就是存在一個包含 無限後退立基鏈 的立基結構。
無限後退立基鏈。 構成一個 無限後退立基鏈 (i) 構成一個立基鏈,並且 (ii) 對於所有 l(),存在一個 (),使得 偏立基 。(Rabin 與 Rabern 2016:371)
不難看出我們的公理系統不允許循環。要允許循環的話,我們要拒絕偏遞移性或是偏反身性。這意味著我們必須放棄公理之一。我們或許會優先考慮保留非反身性。如果是這樣,那在許多討論域中,由於偏遞移並不成立,我們可以嘗試修改本來的定義來避免問題:
立基鏈。 構成一個立基鏈(grounding chain) (i) 構成一個立基結構,並且 (ii) 對於所有 和 ,,要嘛 偏立基+ ,要嘛 偏立基+ ,要嘛 。
「偏立基+」代表偏立基的遞移閉包:
偏立基遞移閉包。在集合 上的偏立基的遞移閉包是滿足「對於所有 中的 、 和 ,(i) 如果 偏立基 則 ,(ii) 如果 且 則 」的 中最小的。
根據新的立基鏈的定義,循環立基鏈可以這樣定義:
循環立基鏈。 構成一個 循環立基鏈 (i) 構成一個立基鏈,並且 (ii) 在 上的偏立基遞移閉包有反身性。
我們的循環(cyclic)符合無限後退立基鏈的定義(雖然循環是否算是無限後退是有爭議的)。
無限後退立基
先考慮形上學的基礎論:
形上學基礎論(最初)。 基礎實體的底層必須存在,它為其他所有實體立基。
所謂的「基礎(foundamental)」可以這樣定義:
基礎。 是基礎的 沒有事物立基 。
類似基礎論的支持者包括 Jacek Brzozowski(2008)、Ross Cameron(2008)、Kit Fine(2010: 105)、Jonathan Schaffer(2010: 37, 62, 2016: 95)和 Karen Bennett(2011)。
這種理論在目前的討論中可以稱作良立基性(well-groundness)。根據 Scott Dixon (2016)、Gabriel Rabin 與 Brian Rabern(2016),有這些不同的版本的公理可補充來滿足良立基性:
無無限後退鏈。 沒有無限後退鏈。
無最大無限後退鏈。 所有的最大立基鏈都不是無限後退鏈。
無弱最大無限後退鏈。 所有的弱最大立基鏈都不是無限後退鏈。
全基礎。 對於所有非基礎實體 ,有一個基礎實體集合 ()使得 全立基 。
以下是上述術語的定義:
最大立基鏈。 是一個 最大立基鏈 (i) 構成一個立基鏈,並且 (ii) 沒有事物偏立基 的所有 。
弱最大立基鏈。 是一個 弱最大立基鏈 (i) 構成一個立基鏈,並且 (ii) 不存在全立基 的所有有限區段中的所有 的 。
有限區段。 構成 的有限區段 (i) 構成一個立基鏈,(ii) 非空, (iii) 包含於 ,並且 (iv) 所有在 中但不在 中的 ,由 中的所有 偏立基。
Dixon、Rabin 和 Rabern 認為,全基礎公理是最可信的。良基性即便可以在一定程度上避免某些無限後退,但全基礎公理依然最符合基礎論者的精神。以下有 、 和 三個圖示。Dixon 等人認為, 和 都滿足基礎論者的需求,但 不滿足,全基礎 滿足這樣的需求。 無無限後退鏈 錯誤地剔除掉了 和 。 無最大無限後退鏈 錯誤地允許了 ,並且剔除了 。 無弱最大無限後退鏈 剔除了 。
假若如此,形上學的基礎論可以更精準地這樣表示:
形上學基礎論(最終)。 對於所有非基礎實體(entity) ,存在一些基礎實體 ()使得 全立基 。
如果是這樣,即便是以基礎論的觀點來看,無限後退依然是可能的,只要它是良立基的。那如果不是呢?無限後退依然是可能的嗎?基礎論者會說不行,但無限論者(infinitist)會說可以:
最小的形上學無限論。 至少有一個這樣的無限後退立基鏈:在裡面至少有一個實體,它不由任何基礎實體(或集合)所全立基。
Matteo Morganti 提倡了更強的版本,主張無限論的立場應該是「在立基域中的 所有 實體,都位於一個無限後退立基鏈的頂端。」(2014, 2015)
非良立基的無限立基鏈的否定
論證一:Shaffer(2010, 2016)
實在是一種這樣的質:在立基域中的所有實體,必須在這個質上被完全度量,並且單單透過立基便可以從這樣的一個實體傳遞到另一個實體。也就是說,一個實體 有完全度量的相關的質,若且唯若,要嘛 (i) 是基礎的,要嘛 (ii) 由其他該質有完全度量的實體所全立基。
論證二:Cameron(2008)
其他事物相同的情況下,我們應該避免理論中有無限後退鏈的解釋關係鏈。考慮一個我們想要解釋的現象集合 ,假設有兩個理論, 和 , 以單一個基礎實體 提供了 完整的解釋,而 以一個無限後退的事實鏈 來解釋 。我們通常會覺得 是更好的理論。
論證三:Bliss(2019)
一旦每個存在的非基礎實體都被提供了完整的解釋,有人可能會認為總是有某些東西需要被解釋。這樣的情況顯示全基礎的模型是錯的。但那些東西之所以還需要被解釋,就是因為有一些非基礎實體存在,而只有在以基礎實體來解釋它們的時候,解釋才算是被提供了。Bliss 將這稱作「外在性假設」:沒有非基礎實體可以解釋任何非基礎實體。
非良立基的無限立基鏈的肯定
論證一:Shaffer(2003)、Tahko(2014)
如果後退項是「無聊的」或是「重複的」,那麼無限後退鏈就是可能的。Shaffer 和 Tahko 所謂的無聊的無限後退結構的無聊部分是基礎的隨附基底。一旦決定了有一個區段在基底中不斷重複的定律,就沒有更多有意義的科學工作需要被完成。Shaffer 認為這種理論並沒有比基礎論的圖示更差。
論證二:Morganti(2014, 2015)
實體不會從立基者轉換成被立基者,而是實體從一個(或多個)從給定實體開始的無限鏈中突現出來(類比 Peter Klein(2007)對於知識證成的想法)。在 Morganti 的這種想法裡面,立基的關係項的存在不依賴於是不是有任何人能表徵它。
論證三:Raven(2016)
一個實體是基礎的,只是因為它在這個情況下是基礎的。一個實體是不可消除的因此是基礎的,這個不可消除的意思是「少了它,實體就不能被完全描述」。這種看法雖然沒有直接論證非良立基的無限立基鏈存在,但由於缺少了絕對的解釋上的基礎物體,無限論者便可以主張,所有立基鏈都不算有良立基性。
論證四:Bohn(2018)
部分立基全體。 必然地,對於所有 和 ,如果 是 的恰當部分,那麼 偏立基 。 全體立基部分。 必然地,對於所有 和 ,如果 是 的恰當部分,那麼 偏立基 。
因此一個物體可以既是黏合的(gunky)也是雜堆的(junky)(他稱作「hunky」)。在這種觀點下,形上學的基礎論 實然地 不是對的。
論證五:Bohn(2018)
基礎事實沒有辦法回答它們為何存在的問題,但這應該要有理由(Bohn 認為)。他的假設是「形上學的充足理由原則(MPSR)」:所有事實都有形上學的解釋。
Bohn 認為,即便 MPSR 不對,要違反它也是必須要有好理由。