Stalnaker 在本文中主張,有些命題是偶然存在的,並且可能存在現實上不存在的命題。
因此若假設可能世界即是最大一致命題,可能有這個問題:
- 假設有個命題 ,若某最大命題 為真,則命題 不會存在, 的矛盾命題也不會存在。
- 但 是最大的,意思是,對於每個命題 ,要嘛 蘊含 ,要嘛蘊含 的矛盾命題。那麼, 將蘊含 或其矛盾命題,即使 或其矛盾命題在 為真時不會存在。這表示,命題 或其矛盾命題在可能世界 為真,即便它們在 為真時不存在。
存在偶然命題的想法由兩個直覺所支持:
- Alvin Plantinga 的存在論(existentialism)表明:單稱命題本體論上依賴它直接關涉的個體(a singular proposition is ontologically dependent on the individuals it is directly about)。即便可能有其他形式的命題偶然性的來源,譬如涉及純粹性質的普遍與存在概括的命題,但涉及個體偶然存在的命題是最清楚的例子。
- 「人和普通物理對象是可能不存在的事物」的摩爾事實(Moorean fact)成立。
假設有個有名字、述詞和量詞的一階模態語言。正統(orthodox)模型為結構 。
根據標準模型,對於每個世界點,在點上定義一個等價關係:
- 對於所有 ,,若且唯若,每個完全關於 域成員的命題對於 中的真值與對於 中的真值相同。完全關於 域成員的命題是那些可以用僅指向 域成員的嚴格名稱來表達的命題。
對於每個 的成員,其等價關係能確定一組等價類,該等價類能作為若該點被實現便會存在的最大命題的模型。相對於現實世界等價的點的差異沒有表徵意義。保留同一性和差異的「可能個體」、該個體的量化特徵、以及所有的現實個體的自身映射,它們的任何排列都是等價表徵。
Kit Fine 區分了內在真理與外在真理:
- 外在真理:命題對於(with respect to or of)一個可能世界為真,
- 內在真理:命題在(in)一個可能世界為真。
一個命題在一個可能世界中為真,是指它在那個世界中具有真的性質。而一個命題對於一個可能世界為真,是指它(在現實世界中)與該可能世界處於某個關係。
若可能世界狀態是最大命題,那一個命題 對可能世界狀態 為真,若且唯若 涵蓋(entail) 。
這兩概念會分開,來自以下假設:
- 有些命題僅偶然存在。
- 每個命題都有其矛盾命題——此命題必然為真,若且唯若給定命題為假。
- 必然地,只有存在的事物才有性質,只有存在的命題才有真性質。
論證如下:
- 根據假設 (1),有某個命題 偶然存在,意味著有個可能世界狀態 ,其域不包含 。
- 根據假設 (2), 的矛盾命題也不在 的域中。
- 根據假設 (3), 和其矛盾命題在 中都不具有真性質。
- 但世界狀態是最大命題,對於任何命題, 都會包含該命題或其矛盾命題。
- 由於 涵蓋 或其矛盾命題,因此會有命題對於該世界狀態為真,但在該世界狀態中不為真。
他認為 Plantinga 和 Williamson 提出的論證,都忽略或拒絕了這個區別。
Plantinga 的論證如下:
- P1. 可能地,蘇格拉底不存在。
- P2. 如果 P1,那麼命題「蘇格拉底不存在」是可能的。
- P3. 如果命題「蘇格拉底不存在」是可能的,那麼命題「蘇格拉底不存在」可能為真。
- P4. 必然地,如果「蘇格拉底不存在」為真,那麼「蘇格拉底不存在」會存在。
- P5. 必然地,如果「蘇格拉底不存在」為真,那麼蘇格拉底就不會存在。
- C. 可能地,蘇格拉底不存在,但命題「蘇格拉底不存在」存在。
P4 P5 蘊含 C,因為這在所有標準模態邏輯都成立:
- 若 ,則 。
Plantinga 指出,
有三種理論分別反對了 P2,P3,P4,他分別以反對者的名字稱之為:
- P2. Prior 式存在論
- P3. Powers 式存在論
- P4. Pollock 式存在論
Stalnaker 認為,圍繞在 P2 和 P3 上的爭論,主要是對「命題『蘇格拉底不存在』是可能的」這個子句存在不同的解釋(而他認為 P4 對於駁倒這悖論並不重要)。
為了說明這問題,Stalnaker 引入了幾個符號:
- :語句的命題形式算子(term-forming operator)。對於任何語句 ,「」表示 所表達的命題。如果以 來縮寫語句「蘇格拉底不存在」, 表示命題「蘇格拉底不存在」。
- :應用於命題的一元真述詞。
- :關聯命題的二元述詞,表示涵蓋關係。
- :變數綁定抽象算子。用來形成述詞。
說明:
假設命題變元取值範圍內的命題、以及形式為「」的表達句的指稱對象,都是粗粒命題(coarse-grained proposition):相互涵蓋的命題視為等同的。
「」和「」一般表示命題,「」表示世界。而世界是最大命題。
- 說一個命題對於一個給定的可能世界為真,就是說世界涵蓋該命題:「」表示命題 對於世界 為真。
- 說一個命題在一個給定的可能世界為真,就是說真述詞在該可能世界中適用於它:「」表示命題 在 中為真。
「」表示現實世界。
一個命題為真,若且唯若它被現實世界所涵蓋: 。
Plantinga 指出,「命題『蘇格拉底不存在』是可能的」的述詞「是可能的」,有兩種不同的定義,它們只在命題必然存在時等價:
- 「是可能的 1」 :命題在某個可能世界為真。
- 「是可能的 2」 :命題對某個可能世界為真。
如果以 1 的方式理解可能述詞,那他應該拒絕 P2 但接受 P3(Powers 的回應)。如果以 2 的方式理解,他應該接受 P2 但拒絕 P3(Prior 的回應)。
Williamson 的論證如下:
- W1. 必然地,如果我不存在,那麼命題「我不存在」為真。
- W2. 必然地,如果命題「我不存在」為真,那麼該命題存在。
- W3. 必然地,如果命題「我不存在」存在,那麼我就存在。
- C. 必然地,我存在。
他認為「在其為真」和「對其為真」的區別不再,因為前提中的「真」出現在模態算子的範圍內。
但 Stalnaker 認為可以這樣分析:
- W1a. 對於任何世界 ,如果我在 中不存在,那麼命題「我不存在」在 中為真。
- W1b. 對於任何世界 ,如果我在 中不存在,那麼命題「我不存在」對於 為真。
- W2a. 對於任何世界 ,如果命題「我不存在」在 中為真,那麼命題「我不存在」在 中存在。
- W2b. 對於任何世界 ,如果命題「我不存在」對 為真,那麼命題「我不存在」在 中存在。
如果命題是偶然存在的, 和 會成立,但 和 和 不成立。
Williamson 拒絕「在其為真」和「對其為真」的區分的第一個理由是擔心循環。
將可能世界定義成一致且完備的命題集合:
- 若一個命題集合 是一致的,若且唯若,對於任何命題 ,如果存在 到 的有效論證,就不存在 到 的矛盾命題的有效論證。
- 若一個命題集合 是完備的,若且唯若,對於任何 ,存在 到 或其矛盾命題的有效論證。
「有效性」的解釋牽涉到必然的真值保持。因此,可能世界是以有效性的概念來解釋的,而必然性是以可能世界的真值來解釋的。這便有可能出現循環。
但這理由並非是決定性的,我們可以將命題看作原始的,並將命題看作真值的承載者。並且主張存在原始的蘊含關係,由命題所具備的最小結構決定其概念。這種最小命題理論能夠用來定義「對其為真」關係,也能定義「在其為真」關係。
Williamson 認為第二個理由更有說服力。這個論證相關部分如下(我簡化過):
- 考慮偶然為真的命題,如,「Blair 在 2000 年是首相」。
- 該命題對 為真,而對一些其他世界 為假。
- 在該模型中,語句表示一個默示變數(tacit variable):若將 分派給變數則產生真值,若將 分派給變數則產生假值(這類似 Tarski 的作法,但 Snalnaker 認為這是糟糕的類比)。
- 不過,Blair 在 2000 年在 中是首相,但在 2000 年在 中不是首相,都不是偶然的。
Stalnaker 認為,這是對於「對其為真」概念的誤解,事實上「對其為真」便是世界與命題的涵蓋關係。他認為我們應該區分這些不同命題:
- (1) Blair 在 2000 年是首相。
- (2) 命題 (1) 為真。
- (3) (1) 對 為真,而對 為假。
命題若是粗粒的, (1) = (2),因為它們互相涵蓋。但 (1) 和 (2) 都不同於 (3)。
Aviv Hoffmann 的回應
Stalnaker 的理論建立在標準的 Kripke 模型結構 上, 是邏輯空間中的點集合。其理論是, 的每個成員都與可能世界間有可定義的等價關係。可能世界是最大命題,與等價關係關聯的等價類,都是若該點被實現將會存在的最大命題的模型,來將可能世界引入。
Hoffmann 認為,在 Stalnaker 的理論中,可能世界是必然存在。他的論證如下:
首先,在邏輯空間中的每個點都在每個點中存在。相對於點的等價類是存在於該點中的可能世界的模型,在邏輯空間中,該等價類本身存在該點中。這是模態集合論(modal set theory)的集合存在公理(set existence axiom):一個集合存在於一個可能世界中,若且唯若其所有成員都在該可能世界中(Fine 1981)。Hoffmann 認為這邊的改寫是:一個集合存在於一個點中,若且唯若,其成員在該點中。
因此,(i) 相對於每個點,其等價類成員存在於該點中。此外,(ii) 對於每個點的等價類窮盡所有邏輯空間:對於 的每個成員 , 的任意成員 是對於 的某個等價類的成員,因為 Stalnaker 將等價關係普遍定義在所有點上。根據 (i) 和 (ii),邏輯空間中的每個點都存在於每個點之中。而根據集合存在公理,每個點的類都存在於每個點之中。因此可能世界必然存在。
以模態集合論來考慮,在 Stalnaker 的理論中,命題也會必然存在。如果每個點的等價類都在每個點中,模態集合輪表明,集合唯若其聯集存在於點中時,它們才存在於點中。因此,對於每個點的等價類的聯集存在於每個點中。相對於 的每個成員的等價類的聯集,是該點被實現將會存在的命題的模型。因此,對於 的每個成員 ,存在於 中的命題存在於每個點中,因此,(必然地)命題必然存在。
Hoffmann 因此認為,Stanlnaker 的理論雖不是存在論的,但是偶然論(accidentalism)的:偶然論允許,如果蘇格拉底不存在,關於蘇格拉底的單稱「命題」會存在,只不過它本質上並不是一個命題。這主張比存在論更弱一些。