Ian Rumfitt, Logical Necessity

Rumfitt 問，有融貫的邏輯必然性概念嗎？是否存在一種「必然性」的意義，其中「 $A$ 是必然的」蘊含並被蘊含於「非 $A$ 是邏輯上矛盾的」。

說「 $A$ 是邏輯上矛盾的」是什麼意思？意思是， $A$ 可以邏輯地推出明顯的矛盾，包括「 $B$ 且非 $B$ 」形式的形式矛盾，也包括「這整體是紅色的，同時也是綠色的」或「這是紅色的，又不是有色的」。作為明顯矛盾的標準與從假設中推導結果的實踐有關。

Rumfitt 認為，這個「結果」應該以 Moore 的「涵蓋（entail）」的廣義解釋來理解：當我們說「 $q$ 遵循 $p$ 」為真時，我們說「 $p$ 涵蓋 $q$ 」也才為真。Moore 表示「這裡的遵循是指 Barbara 三段論的結論遵循兩前提，或『這是有色的』遵循『這是紅色的』」。這顯然比邏輯上的論證有效性更加廣泛，但也沒廣泛到可以容許觀光客三段論：「今天是星期二，所以這裡是比利時」。

Rumfitt 打算充實 Moore 的解釋。

預先說明：

陳述，指邏輯結果關係的主要關係項，包括論證的前提和結論。
（無歧異的）陳述句在一個合適的可能語境中被說出，能表達一個確定的命題或完整的思想，即陳述具有的意義或是命題內容。
根據該思想的真假，能將陳述分類為籠統為真或為假（true or false simpliciter）。
在假設範圍內做出的斷言和話語都可以是陳述的實例，它們都例示了給定的陳述。
並假設，語境在整個論證過程中保持不變。

1. Russell 的菲洛主義（philonianism）及其失敗原因

Bertrand Russell 懷疑邏輯必然性的概念，他在《數學哲學導論》中表明，實質結果或菲洛結果（material or Philonian consequence）——當結論（現實地）為真或某些前提（現實地）為假時產生的關係——就足以保證論證的有效性或可靠性。

Russell 所謂的推理的主要案例，是思考者運用演繹推理能力從舊知識獲得新知識的那些論證。從 $p$ 到 $q$ 的推理要求 $p$ 為真，而 $q$ 未知。這種演繹能力的價值，在於它們能使我們擴展我們的知識。

Rumfitt 指出，菲洛主義不太正確。首先，我們能將演繹能力應用於我們不知是否為真的事情上，譬如我們能以此追溯我們相信但不知道的事物的涵義。其次，Russell 對演繹以獲得知識的方式的理解過於狹隘。

Russell 說，我們知道不是透過知道非 $p$ 或知道 $q$ 來知道非 $p$ 或 $q$ 時，我們可以從 $p$ 推理出 $q$ 。但思考者如何在不知道非 $p$ 也不知道 $q$ 的情況下知道非 $p$ 或 $q$ ？Rumfitt 認為，是因為我們能從 $p$ 的假設中推導出 $q$ （該推導追蹤了語境相關的結果關係），而這種演繹能力需要假設某東西為真或假設我們知道某東西。

假設推理顯然需要比菲洛結果更強的有效性條件：結論為真或前提為假並不足以保證從假設推理的可靠性，因為假設為真的東西可能現實上並不為真。「假設一個力正作用在某物體上，那月球是由鐵構成的」在物理學上並非可靠論證，為了解釋它為何不可靠，必須援引可能性或某相關模態概念：這論證不可靠，因為有力作用在物體上、而月球不由鐵構成的情況是物理上可能的。

Russell 以幾何學的方式將邏輯形式化，但這問題會變成：思考者如何知道公理為真，又如何知道推理規則可以保持真理？Rumfitt 指出，任何合理的答案都訴諸認知主體從假設中進行演繹的能力。幾何學形式化策略主要的問題，在於它沒有將邏輯真理展示為本來面目：邏輯真理僅是適用於假設的推理規則的副產品——當結論所依賴的假設被解除時所產生的副產品。

2. McFetridge 對邏輯必然性的描述

是否存在一種結果關係，它適用於任何假設時都是絕對的？Ian McFetridge 提出，邏輯結果就是這樣的關係，邏輯必然性就是相應的必然性。他引用穆勒（Mill）：「必然之物，必須如此之物，意味無論他物如何假設，它都將必須如此。」（“That which is necessary, that which must be, means that which will be, whatever supposition we make with regard to other things.”）他接著表示，我們之所以相信一個推理方式是邏輯上必然真理的體現，是因為願意相信以任何假設集合進行推理時，這個推理方式都適用，使我們在所有可能做的假設中都能部署（deploy）推理原則。

Rumfitt 認為，我們可以將 McFetridge 的說法，理解為是在討論他試圖闡明的廣義的、摩爾式的邏輯必然性概念。

如果「A 是邏輯必然的」等價於「非 A 是邏輯上矛盾的」。那麼，假設非 A 是邏輯上矛盾的，意思是，無論如何假設其他事實，非 A 的假設都會導致矛盾。這樣的想法和目前的考慮是融貫的。

Rumfitt 指出，沒有理由假設，也沒有普遍理由支持，邏輯必然的陳述都是先驗可知的。如果陳述是邏輯必然的，那麼其否定的結果之間就會存在矛盾，但它具有這種性質不意味有人可以知道這個性質。

Dorothy Edgington 不同意這個看法。他指出，Kripke 關於有效性的討論令我們明白：一、論證只有在前提為真、結論為真是必然時，論證才是有效的；二、若論證是有效的，並且接受前提為真，那就不需要進一步的經驗資訊就能認識到結論為真。因此他認為，我們區分有效論證和無效論證的意義的最好做法，就是表明，只有當前提到結論存在一條先驗途徑（a priori route）時，論證才是有效的。

Rumfitt 回應：首先，有些陳述是能先驗知道的，但即使對邏輯界限進行最慷慨劃分，我們也不願意將其歸類為邏輯上正確的。有人可以先驗地知道費馬大定理，但我們可以拒絕這是邏輯上正確的。因為以數學理論來說，有其沉重的本體論和概念學承諾，數學證明依賴於這些承諾。

或許 Edgington 可以修正立場，將條件改成，從其前提到結論存在一條思考者可以僅用其推理能力能夠走的途徑。但這修改理論會面對另一個反對。

如果需要存在這樣的路徑，會排除那些無法給出完整演繹規則集的有效概念，例如完整二階邏輯（full second-order logic）中的有效性。即使一個結論不能從某些前提推導出來，它也可能是這些前提的二階結果。

我的補充：二階邏輯是不完備的。簡易證明如下：

假設存在一個同時滿足健全性、完備性和有效性的二階邏輯證明系統 S。

考慮任意一個關於自然數的陳述 $\varphi$ 。

構造句式 $F = \forall 0 \forall S \forall + \forall \times [Peano(0,S,+,\times) \rightarrow \varphi]$ 。

如果 $\varphi$ 在標準算術中為真，那麼 $F$ 在所有二階邏輯模型中都為真。

由於 S 是完備的，它應該能夠證明 $F$ 。

因此，S 可以證明所有關於自然數的真陳述。

但根據哥德爾不完備性定理，不存在系統可以證明所有算術真理的系統。

矛盾，不存在這樣的二階邏輯證明系統 S。

至於如何區分有效論證與無效論證的意義，許多哲學家認為，廣義邏輯結果是一種關係，演繹規則是此關係的答案：如果一條規則使我們能從某些前提中推導出在廣義上不遵循這些前提的準結論，那這條規則必須被當成（邏輯上）不可靠的。

將結果認識成可推導性，演繹是結果的答案的想法會變成無法理解。

邏輯必然性的現代理念與 Kripke 式的形而上學必然性的關係如何理解？顯然，某些形上學必然性並不是邏輯必然的。

如果 Hesperus 存在，那麼它與 Phosphorus 是同一的，這在形而上學上是必然的。但這在邏輯上，並不是，Hesperus 存在但與 Phosphorus 不同的假設並不會導致邏輯矛盾。我們可以進一步推論，應該至少有兩個發光物體等。

是否有邏輯必然但非形上學必然的情況？

McFetridge 主張沒有。他以一個論證證明邏輯必然性是非認知必然性的最強形式。這論證有兩個假設：

對一個邏輯有效的論證添加額外前提不能破壞其有效性。
如果能從 $P$ 推導出 $Q$ ，人們有權斷言條件句，若 $P$ 則 $Q$ ，無論在實質意義上還是反事實意義上。

論證如下：

假設「若 $P$ 則 $Q$ 」是邏輯必然的（這似乎表示「 $P$ ；所以 $Q$ 」是邏輯上有效的）。
假設 $P$ 和非 $Q$ 是可能的。如果這是可能的，我們可以描述「 $P$ 和非 $Q$ 」在什麼情況下實現，這描述以 $R$ 代表。
考慮論證，「 $P$ 且 $R$ ；所以 $Q$ 」。這應該也要是有效的。
但根據假設二，我們應該要可以斷言，如果 $P$ 和 $R$ 是事實，那 $Q$ 就會是事實。
但 $R$ 是用來描述 $P$ 和非 $Q$ 出現的情況。因此，這樣的 $R$ 不能存在。
因此， $P$ 和非 $Q$ 是不可能的。

儘管這兩個前提看起來是合理的，這結論還是讓一些人難以接受。Edgington 闡述了 Kripke 關於勒維耶（Leverrier）的例子：勒維耶假設了一顆迄今未被觀測到的行星，是天王星軌道上某些觀測到的擾動的原因，接著引入「海王星」這名稱作為這個行星的專名（如果它真存在的話）。

Edgington 指出，(A) 是有效的（這對勒維耶來說是先驗可知的，因為這個論證是理所當然的）：

(A) 如果海王星存在，那麼它就是導致擾動的行星。

但根據 McFetridge 的原則，(A) 似乎不會是有效的，因為有可能海王星存在，但它並不是導致擾動的行星。

Gareth Evans 的例子是「朱利葉斯」（Julius），他將其作為一個描述性名稱（descriptive name）引入，指代現實上發明拉鍊的人（如果有的話）。

因此，考慮論證 (B)：

(B) 朱利葉斯是一位數學家；發明拉鍊的人移民到了塔希提島；因此，一名數學家移民到了塔希提島。

因為這個推理的理所當然性，我們依然很容易將 (B) 歸類為廣義的有效論證。但在形上學上，存在前提為真結論為假的情況，也就是發明拉鍊的、移民的另有其人，而這人不是數學家。

McFetridge 認為這些論證是無效的，他回應，如果有一種「無時間的」形上學可能性，使得該論證前提為真而結論為假，譬如海王星在一百萬年前就被撞離軌道。但如果原論證是有效的，那根據假設一，「海王星存在並且在一百萬年前就被撞離的軌道，所以海王星是擾動的原因」的論證也會是有效的。但我們顯然不能斷言「如果海王星存在並且在一百萬年前就被撞離了軌道，那它將是擾動的原因」。

那這些案例究竟在哪個分析上發生了錯誤？Rumffit 認為，兩方的分析看起來都有道理，可以說是一個待解決的悖論。應該如何解決這個悖論？

3. 解決悖論

McFetridge 的解釋，似乎在邏輯上並沒有什麼問題，既然「海王星」是一個嚴格指示詞，假設它存在但不是擾動的原因看似沒有什麼問題。但我們需要解釋為何 (A) 既理所當然地為真，前提為真卻結論為假卻在邏輯上可能。

Rumfitt 指出，之所以我們將 (A) 因為其理所當然為真並將其歸類為廣義上有效的論證，是只有在這語境下才是如此──只有在名稱「海王星」是由勒維耶的規定引入的，並且人們嚴格按其規定來理解這名稱時才如此。但這語境只有在最早的天文學用法中符合該要求，在勒維耶提出他的猜想後的幾個月內，海王星就已經通過望遠鏡被觀測到了，人們便能不依賴知道它最初被引入的方式來理解「海王星」。

如果論證 (A) 來自將名稱「海王星」理解為指代距離太陽第八遠的行星的語境——那它就不再理所當然為真，而 (A) 也不再會被歸類為有效。

論證 (B) 也明確指出，「朱利葉斯」在其中出現時，應被理解為描述性名稱。

描述性名稱如今具有相當特殊的語義學特徵。一方面，它們是嚴格的，意味著涉及該名稱的在反事實情境的述詞的真假，依賴該描述性名稱的現實指涉物於該情境下的性質。另一方面，它們與一般專名不同，它們在現實所具有的指涉，不構成描述性名稱的意義。要維持將「朱利葉斯」指涉到「發明拉鍊的人」，需要他們有「該名稱指代發明拉鍊的人」的共同知識。

Rumfitt 認為，這觀察調和了這些論證的理所當然正確性為何無法提供廣義的邏輯有效性，因為這些論證都包含了名稱必須被如何引入作為條件。

他的意見總結如下：

我們應該接受 McFetridge 的論點，邏輯必然性是非認知必然性的最強形式。任何非認知可能性都是邏輯上的可能性。McFetridge 對其論點的論證是正確的。
(A) 並沒有提供在形上學上可能但在邏輯上不可能的陳述的例子來威脅 McFetridge 的立場，因為它在廣義上是無效的。
只有當我們認識到某些去引號原則在邏輯上不必然為真時，才能透過區分來找出造成悖論的問題。一個名稱並不是無條件地指稱在論證中所顯示的指稱。

Rumfitt 提醒，即便這已經消除論證 (A) 和 (B) 對 McFetridge 對邏輯必然性蘊含形上學必然性主張產生的悖論，但依然無法擴展到能夠解釋或消除所有反例。但他認為，透過他的分析應該可以解決這類問題。

譬如以這個例子：

一個紅色的物體，在最佳觀察條件下，對一個正常的觀察者來說看起來是紅色的。

其中「正常的」觀察者被理解為既不是盲人、也不是色盲、也不是其他無法通過視覺識別或區分顏色的人。這樣的說法在分析上依然是正確的，因此也被歸類為廣義上邏輯必然的。但同樣地，這在形上學上是偶然的，因為人類似乎本來就可以被夠成為將紅色事物看成紫色、將紫色事物看成紅色等。這似乎說明這是可能的，在最佳觀察條件下，紅色事物對所謂正常觀察者而言，看起來也不會是紅色的。

這反例不會成立，可以如此分析：即便這不包含描述性名稱，但我們依然可以說，這裡要有合理約束條件，這條件蘊含，每當「紅色」、「看起來是紅色」、「正常的觀察者」的語詞意義被給定時，「紅色」與「在最佳觀察條件下對一個正常的觀察者來說看起來是紅色的」會有共同外延。在此的結論是，陳述「紅色物體在最佳觀察條件下，對一個正常觀察者來說看起來是紅色的」，其真實涵義上是邏輯和形上學上都必然為真。

4. 深層必然性與表面必然性

Rumfitt 指出，當陳述包含描述性概念，有兩個概念容易被混淆。假設陳述 $A$ 表達了 $P$ ：

$A$ 對於可能性 $x$ 為真（true with respect to）：如果 $x$ 成立，那麼 $P$ 是事實。
$A$ 在可能性 $x$ 中為真（true in）：如果 $x$ 成立，那麼 $A$ 在依其現實意義去理解時為真。

拉鍊現實上是由一個美國人發明的，他的朋友們叫他 Whitcomb L. Judson。假設 $x$ 是拉鍊不是由賈德森發明的，而是由一個俄羅斯人發明的的可能性，但賈德森保留了他的現實國籍。由於「朱利葉斯」嚴格地指代賈德森，因此說「如果 $x$ 成立，那麼朱利葉斯就是俄羅斯人」是錯的。因此「朱利葉斯是俄羅斯人」對於 $x$ 來說不為真。

但如果 $x$ 成立，那陳述「朱利葉斯是俄羅斯人」會為真。因為如果 $x$ 成立，那名稱「朱利葉斯」其現實意義會指代一個俄羅斯人。因此，「朱利葉斯是俄羅斯人」在 $x$ 中為真。

依此可以區分兩種必然性，可適用於各種類型（邏輯的、形上學的、物理的）的必然性上：

如果 $A$ 對於所有可能性都為真，我們將這種必然性稱之為「表面必然的（superficially necessary）」。這表示 $A$ 所表達的 $P$ 是必然事實。
如果 $A$ 在所有可能性中都為真，將其稱之為「深層必然的（deeply necessary）」。這表示，在任何可能性下， $A$ 就其現實意義去理解都會必然為真。

因此，「一個論證的前提必然導致其結論」的涵義也存在兩種分歧，同樣這裡的區分可以適用於各種可能性：

這句話的意思可能是：對所有前提都為真的任何可能性，結論都為真。我們稱之為前提表面必然地導致結論。
也可能是：結論在其前提為真中必然為真。稱之為在前提深層必然地導致結論。

透過這個術語，我們可以重新表述對 (A) 論證的悖論的解決方案。(A) 的前提在邏輯上深層必然地導致其結論，由於每種形上學的可能性都是邏輯上的可能性，因此 (A) 的前提在形上學上也深層必然地導致其結論。

但該論證的前提在形上學上並沒有表面必然地導致其結論。存在形上學的可能性（因此也是邏輯的可能性），海王星可能存在，但沒有導致擾動，這就使得該論證的驗證條件句（validating conditional）為假：驗證條件句是將前提作為前件、結論作為後件的指示條件句，它的真假顯示了論證的有效性。

Rumfitt 指出，這個深層概念和表面概念的區別，更準確說明了 Evans 在《指稱和偶然性》 (1979) 中用同樣的術語做出的區別。 Evans 的表面模態的解釋和 Rumfitt 相同，一個真語句 $Q$ 是表面偶然的，若且唯若， $\Diamond \neg Q$ 為真。

但對深層概念的解釋，需要一個（未定義的）驗證陳述用的「事態（state of affairs）」概念：一個深層偶然的陳述，保證存在一些驗證事態，定義為，某個偶然事態，我們可以說，如果它不存在，語句會不為真。

Rumfitt 認為這解釋有點難以理解，並且沒必要地依賴於事態。依照 Evans 的想法，深層必然的陳述，保證驗證事態存在。由於在該驗證事態成立時，陳述才會為真，因此自然的解釋便是，該陳述在其現實意義上必然為真。

另外一種對 Evans 想法（可能更主流）的解釋是這樣的：有很多可能的拉鍊發明者，而無論哪個可能的拉鍊發明者是現實的拉鍊發明者，名字「朱利葉斯」都會指稱他。然後，可以說，無論哪個可能的拉鍊發明者是現實的拉鍊發明者，陳述「若有人發明了拉鍊，那麼朱利葉斯發明了拉鍊」都將為真。

這使 Martin Davies 和 Lloyd Humberstone 引入新的模態算子「A 是深層必然的」來解釋深層必然性，它被理解成：「無論哪個世界是現實的，A 在將那世界考慮為現實時都為真」。如果它的「普通」必然性為真，那麼它就是表面必然的。

這兩種必然算子間的區別是在「二維」模態邏輯的框架內解釋的。述詞「 $A$ 是真 $_{w,v}$ 的」相對於可能世界是雙重相對化的，意思是「陳述 $A$ 在將 $w$ 當成現實世界時，於 $v$ 中為真」。用此術語來說，如果對於任何可能世界 $w$ ， $A$ 是真 $_{w,w}$ 的，那 $A$ 就是深層必然的；如果對任何世界 $v$ ， $A$ 是真 $_{\alpha ,v}$ 的，那它就是表面必然的，其中 $\alpha$ 是現實世界。

Davies 和 Humberstone 表示，世界 $w$ 中的真誠斷言者所追求的真理，是真理 $_{w,w}$ 。因此，重要的論證有效性將是真理 $_{w,w}$ 保持性（他們稱之為「現實世界有效性」），由此前提深層必然地導致結論。這解釋了為何我們傾向將 (A) 等論證歸類為正確的，即使它們的前提並未表面必然地導致其結論。

Brian Weatherson 進一步建議，能以 Davies 和 Humberstone 的方式解釋的雙重相對化真值述詞，捕捉到實質條件句和虛擬條件句間的區別：

對於 $A$ 為真 $_{w,w}$ 的最近世界 $w$ ， $B$ 為真 $_{w,w}$ 時，實質條件句「若 $A$ ，則 $B$ 」才是能正確斷言的。
對於 $A$ 為真 $_{\alpha,w}$ 的最近世界 $w$ ， $B$ 為在真 $_{\alpha,w}$ 時，虛擬條件句「若 $A$ ，則會有 $B$ 」才是能正確斷言的。

然而，Rumfitt 不認為這個猜想是正確的。

Rumfitt 認為，比起 Davies 和 Humberstone 的解釋，他的分析有以下優點：

他的解釋更忠實 Evans 的意圖。因為他的解釋符合挨文斯對「深層必然性」是後設語言的的想法，而引入新的模態算子隱藏了這一點。
雙重相對化的真值述詞不容易解釋。「將某個世界『看成』現實的」究竟是什麼意思？
假設兩個模態算子來區分各種模態的深層形式和表面形式的做法本身便很奇怪，這似乎表明語言使用時具有歧異，但在語言中難以找到陳述具有相當於「深層必然」或「深層可能」的模態詞。

5. 關於獨角獸

Kripke 在《命名與必然性》中表達過這樣的觀點：由於現實上沒有獨角獸，所以可能存在獨角獸是錯誤的。我們無法從神話文本或圖片中確定獨角獸這物種的內部結構，甚至無法確定是溫體動物。並且如 Michael Dummett 指出的，神話並沒有告訴我們它們是偶蹄類動物（如鹿），還是奇蹄類動物（如馬），因此也無法確定牠們屬於哪個目。

Dummett 認為 Kripke 的論點是不融貫的，他認為該論點的支持者會想斷言，假若現實世界存在類似於圖片中的獨角獸的生物、並且所有或大多數動物都屬於同一個物種，那牠們就是獨角獸，但這就是在談論假設情況下的現實事物，這就是在談論牠們在可能世界中的狀況。由於 Dummett 支持者會想斷言的東西是真的，因此即便現實上沒有獨角獸，獨角獸也可能存在。

以可能世界的語言來說，現實世界 $w$ 中沒有獨角獸，但存在一個有（偶蹄目）獨角獸的可能世界 $u$ ，還存在一個有（奇蹄目）獨角獸的可能世界 $v$ 。Dummett 接著主張，世界 $v$ 相對於世界 $u$ 來說是不可能的，反之亦然。但 $w$ 相對於 $u$ 來說是不可能的，因為「獨角獸必然屬於偶蹄目」在 $u$ 是真的，但在 $w$ 則不然。但 $u$ 對於 $w$ 來說是可能的。因此可能性的關係是不對稱的，這也是說，形上學必然性的邏輯不可能是 S5。他認為，可能性會是自反且傳遞的，但不會是對稱的，也就是是 S4。

Rumfitt 認為這個反駁是失敗的。關鍵是，「如果存在與獨角獸神話有適當關係的動物，那麼它們就是獨角獸」的斷言和「不可能存在獨角獸」的斷言是相容的。

Rumfitt 表示，可以用他的術語來分析，該論點的支持者的主張是：

(1) 如果存在與獨角獸神話有適當關係的動物，那麼「獨角獸」（在其現實意義上）就適用於牠們。

然而，Dummett 指出的那個主張其實不是 (1)，而是：

(2) 如果存在與神話有適當關係的動物，那麼牠們就是獨角獸。

要從 (1) 推出 (2)，需要一個額外假設：

(3) 必然地，術語「獨角獸」（在其現實意義上）適用的動物就是獨角獸。

但我們其實沒有普遍的理由接受像 (3) 這樣的說法。因此，該論點的支持者可以拒絕 (3) 來鞏固自己的立場，接受 (1) 並且拒絕 (2)。在拒絕 (3) 時，並不需要承諾「獨角獸」是一個描述性名稱，而是「獨角獸」的意義不完整，因為缺乏樣本而使得物種的意義是不完整的。

這樣的話，Dummett 對形上學必然性邏輯不能是 S5 的意見也會隨之瓦解。